Prof. Dr. Angela Schwenk

Umkehrfunktion

Sinus-Funktion

Im linken der Teil der Tabelle 1 (blauer Teil) ist die Wertetabelle der Sinus-Funktion im Bereich von x=-π bis x=3π dargestellt. Der rechte (weiße) Teil der Tabelle zeigt dieselben Werte wie im blauen Teil, nur "umgekehrt". Es wurden dazu die beiden Spalten vertauscht: die linke weiße Spalte enthält jetzt die Sinuswerte, die rechte weißen Spalte die alten x-Werte.

Bei Wertetabellen einer Funktion stehen in der Regel in der linken Spalte die x-Werte und in der rechten Spalte die Funktionswerte. Die weiße, umgekehrte Tabelle kann also nicht als Wertetabelle einer Funktion interpretiert werden, denn denselben x-Werten aus der linken Spalte würden verschiedene y-Werte der rechten Spalte zugeordnet, die Funktionswerte würden also nicht eindeutig von x abhängen.

Abbildung 1: Graph der Wertetabelle

Abbildung 1 zeigt den Graphen der blauen Wertetabelle. Zu jeder Zeile gehört ein Punkt (x_k, sin(x_k)) in der Graphik. Der eingerahmte Teil der Tabelle wurde durch dickere, miteinander verbundene Punkte hervorgehoben.

Umkehrfunktion der Sinus-Funktion

Beschränkt man sich auf den umrahmten Teil der Wertetabelle (siehe Tabelle 1), dann kann auch die umgekehrte Tabelle als Wertetabelle einer Funktion aufgesfasst werden. Das ist dann die Wertetabelle der sogenannten Umkehrfunktion. In Tabelle 2 ist der Ausschnitt von oben noch einmal dargestellt. Der rechte, orange Teil ist die Wertetabelle der Arcsin-Funktion.

Der eingeschränkte Definitionsbereich, so dass die Sinus-Funktion f umkehrbar ist, ist das Intervall D_f =[-π/2, π/2], der Bereich der Funktionswerte ist das Intervall W_f =[-1,1].

Bei der Umkehrfunktion f ^-1 ist das genau umgekehrt: Definitionsbereich D_f  -1=[-1,1], Wertebereich W_f  -1=[-π/2, π/2]

Abbildung 2 zeigt die zugehörigen Graphen.

Achtung: missverständliche Schreibweise

Die Umkehrfunktion wird in der Mathematik durch eine hochgestellte "-1" gekennzeichnet. Diese hochgestellte "-1" hat in der Mathematik also zwei Bedeutungen, die nicht verwechselt werden dürfen und die nichts miteinander zu tun haben:

1. im Zusammenhang mit Zahlen: Kehrwert, wie z. B. in 2^-1=1/2 oder (a/b)^-1=b/a
2. im Zusammenhang mit Funktionen: Umkehrfunktion.

So wird auf dem Taschenrechner die Umkehrfunktion der Sinusfunktion häufig mit sin^-1 statt mit arcsin bezeichnet.